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Question-228455




Question Number 228455 by mr W last updated on 15/Apr/26
Commented by kapoorshah last updated on 19/Apr/26
how if the digits  can be the same?
$${how}\:{if}\:{the}\:{digits} \\ $$$${can}\:{be}\:{the}\:{same}? \\ $$
Commented by mr W last updated on 20/Apr/26
see Q228431
$${see}\:{Q}\mathrm{228431} \\ $$
Answered by vnm last updated on 16/Apr/26
4(4×3×2+2(3×2×1)+6(3×3×4))=1008
$$\mathrm{4}\left(\mathrm{4}×\mathrm{3}×\mathrm{2}+\mathrm{2}\left(\mathrm{3}×\mathrm{2}×\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}\left(\mathrm{3}×\mathrm{3}×\mathrm{4}\right)\right)=\mathrm{1008} \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Apr/26
group A: 0, 3, 6, 9  group B: 1, 4, 7  group C: 2, 5, 8  to build a 3 digit number which is  divisible by 3:  either all 3 digits from group A or B or C,  or one digit from A, one digit from B and one digit from C.    case 1: last digit is 2  ⇒(4+1+4×3×2)×3!=174    case 2: last digit is 5  as case 1 ⇒174    case 3: last digit is 3  ⇒(1+1+1+3×3×3)×3!=180    case 4: last digit is 7  ⇒(4+1+4×2×3)×3!=174    totally: 3×174+180=702 ✓
$${group}\:{A}:\:\mathrm{0},\:\mathrm{3},\:\mathrm{6},\:\mathrm{9} \\ $$$${group}\:{B}:\:\mathrm{1},\:\mathrm{4},\:\mathrm{7} \\ $$$${group}\:{C}:\:\mathrm{2},\:\mathrm{5},\:\mathrm{8} \\ $$$${to}\:{build}\:{a}\:\mathrm{3}\:{digit}\:{number}\:{which}\:{is} \\ $$$${divisible}\:{by}\:\mathrm{3}: \\ $$$${either}\:{all}\:\mathrm{3}\:{digits}\:{from}\:{group}\:{A}\:{or}\:{B}\:{or}\:{C}, \\ $$$${or}\:{one}\:{digit}\:{from}\:{A},\:{one}\:{digit}\:{from}\:{B}\:{and}\:{one}\:{digit}\:{from}\:{C}. \\ $$$$ \\ $$$${case}\:\mathrm{1}:\:{last}\:{digit}\:{is}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{4}+\mathrm{1}+\mathrm{4}×\mathrm{3}×\mathrm{2}\right)×\mathrm{3}!=\mathrm{174} \\ $$$$ \\ $$$${case}\:\mathrm{2}:\:{last}\:{digit}\:{is}\:\mathrm{5} \\ $$$${as}\:{case}\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{174} \\ $$$$ \\ $$$${case}\:\mathrm{3}:\:{last}\:{digit}\:{is}\:\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{3}×\mathrm{3}×\mathrm{3}\right)×\mathrm{3}!=\mathrm{180} \\ $$$$ \\ $$$${case}\:\mathrm{4}:\:{last}\:{digit}\:{is}\:\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{4}+\mathrm{1}+\mathrm{4}×\mathrm{2}×\mathrm{3}\right)×\mathrm{3}!=\mathrm{174} \\ $$$$ \\ $$$${totally}:\:\mathrm{3}×\mathrm{174}+\mathrm{180}=\mathrm{702}\:\checkmark \\ $$
Commented by vnm last updated on 18/Apr/26
  Yes, you're right, I didn't take into account that the last digit should also be different from the first three.
$$ \\ $$Yes, you're right, I didn't take into account that the last digit should also be different from the first three.
Commented by mr W last updated on 18/Apr/26
thanks for clarifying!
$${thanks}\:{for}\:{clarifying}! \\ $$
Answered by BaliramKumar last updated on 18/Apr/26
  All Valid Passwords (with serial number):      1. 0123    2. 0125    3. 0127    4. 0152    5. 0153    6. 0157    7. 0182    8. 0183    9. 0185   10. 0187   11. 0213   12. 0215   13. 0217   14. 0243   15. 0245   16. 0247   17. 0273   18. 0275   19. 0362   20. 0365   21. 0367   22. 0392   23. 0395   24. 0397   25. 0423   26. 0425   27. 0427   28. 0452   29. 0453   30. 0457   31. 0482   32. 0483   33. 0485   34. 0487   35. 0512   36. 0513   37. 0517   38. 0542   39. 0543   40. 0547   41. 0572   42. 0573   43. 0632   44. 0635   45. 0637   46. 0692   47. 0693   48. 0695   49. 0697   50. 0723   51. 0725   52. 0752   53. 0753   54. 0782   55. 0783   56. 0785   57. 0812   58. 0813   59. 0815   60. 0817   61. 0842   62. 0843   63. 0845   64. 0847   65. 0872   66. 0873   67. 0875   68. 0932   69. 0935   70. 0937   71. 0962   72. 0963   73. 0965   74. 0967   75. 1023   76. 1025   77. 1027   78. 1052   79. 1053   80. 1057   81. 1082   82. 1083   83. 1085   84. 1087   85. 1203   86. 1205   87. 1207   88. 1235   89. 1237   90. 1263   91. 1265   92. 1267   93. 1293   94. 1295   95. 1297   96. 1325   97. 1327   98. 1352   99. 1357  100. 1382  101. 1385  102. 1387  103. 1472  104. 1473  105. 1475  106. 1502  107. 1503  108. 1507  109. 1532  110. 1537  111. 1562  112. 1563  113. 1567  114. 1592  115. 1593  116. 1597  117. 1623  118. 1625  119. 1627  120. 1652  121. 1653  122. 1657  123. 1682  124. 1683  125. 1685  126. 1687  127. 1742  128. 1743  129. 1745  130. 1802  131. 1803  132. 1805  133. 1807  134. 1832  135. 1835  136. 1837  137. 1862  138. 1863  139. 1865  140. 1867  141. 1892  142. 1893  143. 1895  144. 1897  145. 1923  146. 1925  147. 1927  148. 1952  149. 1953  150. 1957  151. 1982  152. 1983  153. 1985  154. 1987  155. 2013  156. 2015  157. 2017  158. 2043  159. 2045  160. 2047  161. 2073  162. 2075  163. 2103  164. 2105  165. 2107  166. 2135  167. 2137  168. 2163  169. 2165  170. 2167  171. 2193  172. 2195  173. 2197  174. 2315  175. 2317  176. 2345  177. 2347  178. 2375  179. 2403  180. 2405  181. 2407  182. 2435  183. 2437  184. 2463  185. 2465  186. 2467  187. 2493  188. 2495  189. 2497  190. 2583  191. 2587  192. 2613  193. 2615  194. 2617  195. 2643  196. 2645  197. 2647  198. 2673  199. 2675  200. 2703  201. 2705  202. 2735  203. 2763  204. 2765  205. 2793  206. 2795  207. 2853  208. 2857  209. 2913  210. 2915  211. 2917  212. 2943  213. 2945  214. 2947  215. 2973  216. 2975  217. 3062  218. 3065  219. 3067  220. 3092  221. 3095  222. 3097  223. 3125  224. 3127  225. 3152  226. 3157  227. 3182  228. 3185  229. 3187  230. 3215  231. 3217  232. 3245  233. 3247  234. 3275  235. 3425  236. 3427  237. 3452  238. 3457  239. 3482  240. 3485  241. 3487  242. 3512  243. 3517  244. 3542  245. 3547  246. 3572  247. 3602  248. 3605  249. 3607  250. 3692  251. 3695  252. 3697  253. 3725  254. 3752  255. 3782  256. 3785  257. 3812  258. 3815  259. 3817  260. 3842  261. 3845  262. 3847  263. 3872  264. 3875  265. 3902  266. 3905  267. 3907  268. 3962  269. 3965  270. 3967  271. 4023  272. 4025  273. 4027  274. 4052  275. 4053  276. 4057  277. 4082  278. 4083  279. 4085  280. 4087  281. 4172  282. 4173  283. 4175  284. 4203  285. 4205  286. 4207  287. 4235  288. 4237  289. 4263  290. 4265  291. 4267  292. 4293  293. 4295  294. 4297  295. 4325  296. 4327  297. 4352  298. 4357  299. 4382  300. 4385  301. 4387  302. 4502  303. 4503  304. 4507  305. 4532  306. 4537  307. 4562  308. 4563  309. 4567  310. 4592  311. 4593  312. 4597  313. 4623  314. 4625  315. 4627  316. 4652  317. 4653  318. 4657  319. 4682  320. 4683  321. 4685  322. 4687  323. 4712  324. 4713  325. 4715  326. 4802  327. 4803  328. 4805  329. 4807  330. 4832  331. 4835  332. 4837  333. 4862  334. 4863  335. 4865  336. 4867  337. 4892  338. 4893  339. 4895  340. 4897  341. 4923  342. 4925  343. 4927  344. 4952  345. 4953  346. 4957  347. 4982  348. 4983  349. 4985  350. 4987  351. 5012  352. 5013  353. 5017  354. 5042  355. 5043  356. 5047  357. 5072  358. 5073  359. 5102  360. 5103  361. 5107  362. 5132  363. 5137  364. 5162  365. 5163  366. 5167  367. 5192  368. 5193  369. 5197  370. 5283  371. 5287  372. 5312  373. 5317  374. 5342  375. 5347  376. 5372  377. 5402  378. 5403  379. 5407  380. 5432  381. 5437  382. 5462  383. 5463  384. 5467  385. 5492  386. 5493  387. 5497  388. 5612  389. 5613  390. 5617  391. 5642  392. 5643  393. 5647  394. 5672  395. 5673  396. 5702  397. 5703  398. 5732  399. 5762  400. 5763  401. 5792  402. 5793  403. 5823  404. 5827  405. 5912  406. 5913  407. 5917  408. 5942  409. 5943  410. 5947  411. 5972  412. 5973  413. 6032  414. 6035  415. 6037  416. 6092  417. 6093  418. 6095  419. 6097  420. 6123  421. 6125  422. 6127  423. 6152  424. 6153  425. 6157  426. 6182  427. 6183  428. 6185  429. 6187  430. 6213  431. 6215  432. 6217  433. 6243  434. 6245  435. 6247  436. 6273  437. 6275  438. 6302  439. 6305  440. 6307  441. 6392  442. 6395  443. 6397  444. 6423  445. 6425  446. 6427  447. 6452  448. 6453  449. 6457  450. 6482  451. 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458. 6543
459. 6547
460. 6572
461. 6573
462. 6723
463. 6725
464. 6752
465. 6753
466. 6782
467. 6783
468. 6785
469. 6812
470. 6813
471. 6815
472. 6817
473. 6842
474. 6843
475. 6845
476. 6847
477. 6872
478. 6873
479. 6875
480. 6902
481. 6903
482. 6905
483. 6907
484. 6932
485. 6935
486. 6937
487. 7023
488. 7025
489. 7052
490. 7053
491. 7082
492. 7083
493. 7085
494. 7142
495. 7143
496. 7145
497. 7203
498. 7205
499. 7235
500. 7263
501. 7265
502. 7293
503. 7295
504. 7325
505. 7352
506. 7382
507. 7385
508. 7412
509. 7413
510. 7415
511. 7502
512. 7503
513. 7532
514. 7562
515. 7563
516. 7592
517. 7593
518. 7623
519. 7625
520. 7652
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522. 7682
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529. 7835
530. 7862
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539. 7953
540. 7982
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543. 8012
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551. 8072
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554. 8102
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557. 8107
558. 8132
559. 8135
560. 8137
561. 8162
562. 8163
563. 8165
564. 8167
565. 8192
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569. 8253
570. 8257
571. 8312
572. 8315
573. 8317
574. 8342
575. 8345
576. 8347
577. 8372
578. 8375
579. 8402
580. 8403
581. 8405
582. 8407
583. 8432
584. 8435
585. 8437
586. 8462
587. 8463
588. 8465
589. 8467
590. 8492
591. 8493
592. 8495
593. 8497
594. 8523
595. 8527
596. 8612
597. 8613
598. 8615
599. 8617
600. 8642
601. 8643
602. 8645
603. 8647
604. 8672
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622. 8942
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641. 9157
642. 9182
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646. 9213
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651. 9247
652. 9273
653. 9275
654. 9302
655. 9305
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657. 9362
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659. 9367
660. 9423
661. 9425
662. 9427
663. 9452
664. 9453
665. 9457
666. 9482
667. 9483
668. 9485
669. 9487
670. 9512
671. 9513
672. 9517
673. 9542
674. 9543
675. 9547
676. 9572
677. 9573
678. 9602
679. 9603
680. 9605
681. 9607
682. 9632
683. 9635
684. 9637
685. 9723
686. 9725
687. 9752
688. 9753
689. 9782
690. 9783
691. 9785
692. 9812
693. 9813
694. 9815
695. 9817
696. 9842
697. 9843
698. 9845
699. 9847
700. 9872
701. 9873
702. 9875

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Total valid passwords = 702
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[Program finished]

Commented by mr W last updated on 18/Apr/26
great!  this confirms that my method is  correct. thanks!
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Commented by fantastic2 last updated on 18/Apr/26
how on earth did you type all those?
$${how}\:{on}\:{earth}\:{did}\:{you}\:{type}\:{all}\:{those}? \\ $$
Commented by TonyCWX last updated on 18/Apr/26
I was thinking the same question.  But I believe it′s just copy and paste from Python Output.
$$\boldsymbol{\mathrm{I}}\:\boldsymbol{\mathrm{was}}\:\boldsymbol{\mathrm{thinking}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{same}}\:\boldsymbol{\mathrm{question}}. \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{But}}\:\boldsymbol{\mathrm{I}}\:\boldsymbol{\mathrm{believe}}\:\boldsymbol{\mathrm{it}}'\boldsymbol{\mathrm{s}}\:\boldsymbol{\mathrm{just}}\:\boldsymbol{\mathrm{copy}}\:\boldsymbol{\mathrm{and}}\:\boldsymbol{\mathrm{paste}}\:\boldsymbol{\mathrm{from}}\:\boldsymbol{\mathrm{Python}}\:\boldsymbol{\mathrm{Output}}. \\ $$
Commented by BaliramKumar last updated on 18/Apr/26
Yes
$$\mathrm{Yes} \\ $$

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