Question Number 227865 by Lara2440 last updated on 23/Feb/26
$$\mathrm{Question}. \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{that}\:\mathrm{we}\:\mathrm{consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{expression}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}} .\: \\ $$$$\mathrm{as}\:{n}\rightarrow\infty\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{converges}\:\mathrm{to}\:\mathrm{a}\:\mathrm{unique} \\ $$$$\mathrm{irrational}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{denoted}\:\mathrm{by}\:''\boldsymbol{\mathrm{e}}'' \\ $$$$\mathrm{def}.\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}} ={e} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{Sequence}\:{A}_{{h}} =\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{h}}\right)^{{h}} \:,\:{h}>\mathrm{1}\: \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{Let}\:\left(\mathrm{1},\underset{\underset{{n}\:\mathrm{times}} {\:}} {\underbrace{\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:,\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:,\:….\:,\:+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}}}\:\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}+{n}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)}{{n}+\mathrm{1}}>\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}} \Rightarrow\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}>\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}/\left({n}+\mathrm{1}\right)} \:\:\left(\mathrm{AM}>\mathrm{GM}\:\right) \\ $$$$\therefore\:{A}_{{n}} <{A}_{{n}+\mathrm{1}} \:\: \\ $$$${A}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{monotonic}\:\mathrm{increase} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Bernoulli}\:\mathrm{Inequality}\:\mathrm{1}+{nx}<\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}} \: \\ $$$$\mathrm{1}+{n}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{{n}}<\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}} \:\mathrm{and}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}} =\mathrm{1}+{n}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)+\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}!}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} +…<\mathrm{1}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} ….=\mathrm{3} \\ $$$$\therefore\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}} \:\mathrm{bounded}\:\mathrm{above}\:\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\mathrm{2}<\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}} <\mathrm{3}\:\: \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{can}\:\mathrm{accept}\:\mathrm{the}\:\mathrm{logic}\:\mathrm{so}\:\mathrm{far} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{how}\:\mathrm{can}\:\mathrm{we}\:\mathrm{be}\:\mathrm{absolutely}\:\mathrm{certain} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}\:''\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{n}} \:\mathrm{converges}\:\mathrm{to}\:\mathrm{that}\:\mathrm{specific}\:\mathrm{value} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{e}}=\mathrm{2}.\mathrm{7182818284590452}…….\: \\ $$$$\mathrm{After}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{interval}\:\mathrm{between}\:\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{3}\:\mathrm{is}\:\mathrm{densely}\:\mathrm{packed}\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{infinitely}\:\mathrm{many}\:\mathrm{rational}\:\mathrm{and}\:\mathrm{irrational}\:\mathrm{numbers}. \\ $$$$\mathrm{why}\:\mathrm{must}\:\mathrm{it}\:\mathrm{be}\:\mathrm{that}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{one}…..??? \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\mathrm{shown}\:\mathrm{two}\:\mathrm{properties}\:\mathrm{first}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{monotonically}\:\mathrm{increasing}\:\mathrm{and}\: \\ $$$$\mathrm{second}\:\mathrm{that}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{bounded}\:\mathrm{both}\:\mathrm{above}\:\mathrm{and}\:\mathrm{below}. \\ $$$$\mathrm{However}\:\mathrm{these}\:\mathrm{properties}\:\mathrm{alone}\:\mathrm{do}\:\mathrm{not}\:\mathrm{tell}\:\mathrm{us}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{exact}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{such}\:\mathrm{as}\:\mathrm{2}.\mathrm{7182818284590452}…. \\ $$$$\mathrm{To}\:\mathrm{confirm}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{is}\:\mathrm{indeed}\:\mathrm{the}\:\mathrm{irrational}\:\mathrm{number}\:''\boldsymbol{\mathrm{e}}''\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{way}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{directly}\:\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{the}\:\underset{{h}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}!}\:?? \\ $$$$\mathrm{Furthermore}\:\mathrm{is}\:\mathrm{it}\:\mathrm{sufficient}\:\mathrm{to}\:\mathrm{justify}\:\mathrm{that}\:\mathrm{this}\:\mathrm{series} \\ $$$$\mathrm{convergs}\:\mathrm{to}\:''\boldsymbol{\mathrm{e}}''\:\mathrm{by}\:\mathrm{finding}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sufficiently}\:\mathrm{large}\:''\boldsymbol{\mathrm{N}}'' \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{any}\:\mathrm{arbitary}\:\mathrm{positive}\:\boldsymbol{\epsilon}>\mathrm{0}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{difference}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\boldsymbol{\epsilon} \\ $$$$“\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\boldsymbol{\epsilon}>\mathrm{0}\:\mathrm{Exist}\:{N}\in\mathbb{N}\:\mathrm{s}.\mathrm{t}.\:{N}<{n}\:\Rightarrow\:\mid{A}_{{n}} −{L}\mid<\boldsymbol{\epsilon}'' \\ $$